L'école aujourd'hui Elémentaire - n°33 - Décembre 2012 - 17

Dossier
Les Hilbert montent donc dans la chambre. Ils trouvent le Nombre Un million deux cent trentequatre mille cinq cent soixante-six profondément endormi dans son lit et Zéro penché à la fenêtre. Ils voient tous les Nombres et toutes les Fractions en dessous d’eux formant un grand triangle qui s'étire jusqu’à l’horizon. « Regardez ! dit Zéro. Voyez-vous ? Le Nombre Un est debout tout seul à la pointe du triangle.
– Voyez-vous la Fraction 1 et le Nombre Deux 2 qui se tiennent dans la ligne de 2, juste derrière ? – – Voyez-vous la Fraction 1 , la Fraction 2 et le Nombre 3 2 Trois qui se tiennent sur la ligne de 3, juste derrière la ligne de 2 ? Voyez-vous toutes ces lignes dans le triangle, qui sont de plus en plus longues à chaque fois ? — Je vois maintenant ! dit M. Hilbert. Mais nous ne pouvions pas le voir de là où nous étions tout à l’heure.

Vers l’infini ?

Souvent une confusion terminologique surgit. Certains parlent de nombres infinis pour évoquer les nombres ayant une infinité de décimales qui ne sont pas toutes nulles à partir d’un certain rang ; pour d’autres, l’infini est tout autre chose. En fait, des nombres comme π ayant une infinité de décimales qui ne se reproduisent pas par paquets, qui ne sont pas toutes nulles à partir d’un certain rang, sont finis même si leur écriture est infinie. Le nombre π est fini car il est compris entre 3 et 4. Tout nombre est fini. Mais alors, qu’est-ce que l’infini ? Une question qui intrigue souvent certains élèves concerne la quantité de nombres. Quand je continue, il y a encore des nombres ? La réponse est bien évidemment positive. Combien y a-t-il de nombres ? La réponse est souvent beaucoup, plus que ce que tu peux imaginer. Après un nombre entier, un autre nombre entier… Puisqu’on ne peut pas s’arrêter, on dit qu’il y a une infinité de nombres entiers. Mais comment donc définir l’infini ? La question elle-même peut paraître paradoxale puisqu’il s’agit de terminer (finir) complètement (dé-) ce qui n’est pas (in-) fini. Si je compte les nombres entiers pairs, ça ne s’arrête jamais ?

Extrait de l’ouvrage Le chat au pays des nombres, Le Pommier.

Non, jamais. Après un nombre pair, un autre nombre pair… Et, paradoxalement, en ajoutant deux syllabes à l’alexandrin précédent, on obtient un nouvel alexandrin Après un nombre impair, un autre nombre impair. L’infini est un peu à cette image, si on ajoute deux éléments à un ensemble infini, on ne change rien pour ce qui concerne son infinitude. Y a-t-il plus de nombres pairs ou plus de nombres impairs ? Les élèves de cycle 3 peuvent organiser les nombres en deux colonnes, une colonne des nombres pairs, une colonne des nombres impairs. Ces deux sortes de nombres peuvent ainsi être associées un à un de manière bijective. Et la conclusion tombe : il y a autant de nombres pairs que de nombres impairs. Soit. Cela n’est pas bien choquant. Les mathématiciens disent que ces deux ensembles ont le même cardinal, terme qui vaut pour des quantités finies (nombre d’éléments de…) et pour l’infini. Ainsi, le cardinal de l’ensemble des nombres pairs est égal au cardinal de l’ensemble des nombres impairs. Le sens commun laisse imaginer qu’Il y a certainement plus de nombres entiers que de nombres pairs ! La question mérite d’être examinée de plus près. À chaque nombre pair,

associons sa moitié et faisons deux colonnes de ces nombres. On voit vite que ces deux colonnes grandissent de la même manière, qu’on réalise concrètement une bijection entre l’ensemble des nombres pairs et l’ensemble des nombres entiers naturels. Il y a donc “autant” de nombres pairs que de nombres entiers naturels. Les trois ensembles suivants ont donc le même cardinal : les nombres pairs, les nombres impairs et l’ensemble des nombres entiers qu’ils constituent à eux deux ! Voici un paradoxe qu’il convient de lever. C’est la définition mathématique que l’on donne de l’infini qui va permettre en partie de lever ce paradoxe. Un ensemble est dit infini si et seulement si l’une de ses parties propres (différentes de l’ensemble tout entier) peut être mise en bijection avec l’ensemble tout entier. L’ensemble des nombres entiers naturels peut être mis en bijection avec l’ensemble des nombres pairs. Il est donc infini. Son cardinal, le plus petit des cardinaux infinis est appelé aleph0. On peut comprendre que l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble des entiers aient même cardinaux. Ce sont des ensembles pleins de trous quand on les représente sur une droite. Mais qu’en est-il de l’ensemble des nombres rationnels ? Il y en vraiment presque partout. Dans Le chat au pays des nombres (voir bloc-notes), on peut prendre un infini plaisir à découvrir que l’on peut toujours faire un peu de place pour quelques invités en plus dans l’hôtel infini, sans en modifier l’infinitude et que, de plus, il y a autant de nombres rationnels que de nombres entiers naturels. Ou plutôt que l’ensemble des nombres rationnels a même cardinal (infini) que l’ensemble des nombres entiers naturels. L’agencement qui permet de le montrer est à la portée des élèves de cycle 3 intéressés par la question. Luc Winkler et Serge Petit
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L’ÉCOLE AUJOURD’HUI ÉLÉMENTAIRE n°33

L'école aujourd'hui Elémentaire - n°33 - Décembre 2012

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